Concentration de médicament dans le sang

On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La première injection est de \(10\)  mL, puis toutes les heures on lui en injecte \(1\)  mL.

On étudie l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang en prenant le modèle suivant :

• on estime que \(20\)  % de la quantité de médicament présente dans le sang est éliminée chaque heure ;
  
• pour tout entier naturel \(n\) , on note \(U_n\)  la quantité de médicament en ml présente dans le sang au bout de \(n\)  heures.
  

Ainsi, \(U_0=10\) .

1. Justifier que \(U_1=9\) .

2. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) , \(U_{n+1}=0,8 U_{n}+1\) .

On donne ci-dessous la représentation graphique de la suite \(\left(U_n\right)\)  :

3. Conjecturer la limite de la suite \((U_n)\) .

On considère l’algorithme suivant :

\(\begin{array}{|}\hline U \leftarrow 10\\N\leftarrow 0\\\text{Tant que}\; U>5,1\; \text{faire}\\\quad U \leftarrow 0,8*U+1\\\quad N \leftarrow N+1\\\text{Fin du tant que}\\\text{Afficher}\;N\\\hline\end{array}\)

4. À quoi sert cet algorithme ?

5. À l’aide de l’extrait du tableau de valeurs de la suite \(\left(U_n\right)\)  donné ci-dessous, donner la valeur de \(N\)  à l’issue de l’exécution de cet algorithme.